Aikasarjaennustaminen 3

Päivitetty 29.12.2020

Tämä artikkeli on jatkoa artikkeleille Aikasarjaennustaminen 1 ja Aikasarjaennustaminen 2.

Edellisen artikkelin Aikasarjaennustaminen 2 lopussa totesin, että esimerkkinä käyttämässäni aikasarjassa on neljän vuosineljänneksen välein toistuvaa kausivaihtelua, joka on syytä huomioida ennustamisessa. Tässä artikkelissa tarkastelen kausivaihtelun huomioivaa Holt-Winterin menetelmää.

Holt-Winterin tulomallissa aikasarjan tason L (level) hetkellä t määrittää lauseke

L_t = alfa * Y_t/S_t-s + (1 – alfa)(L_t-1 + T_t-1)

Yllä Y_t on viimeisin havainto, S_t-s on edellisen vastaavan periodin kausivaihtelu ja  T_t-1 on edellinen trendi.

Trendille T hetkellä t saadaan arvio lausekkeesta

T_t = beta * (L_t – L_t-1) + (1 – beta) * T_t-1

Kausivaihtelulle S hetkellä t saadaan arvio lausekkeesta

S_t = gamma * Y_t/L_t + (1 – gamma) * S_t-s

Ennuste hetkelle t + p saadaan

(L_t + pT_t)S_t-s

Yllä on kyse Holt-Winterin tulomallista, jossa kausivaihtelu huomioidaan kausivaihtelukertoimena. Holt-Winterin mallia voidaan soveltaa myös summamallina, jolloin kausivaihtelu huomioidaan lisättävänä kausivaihteluterminä. Tulomalli soveltuu paremmin tilanteisiin, joissa kausivaihtelukomponentin suuruus vaihtelee aikasarjan tason L mukaan. Summamalli soveltuu tilanteisiin, joissa kausivaihtelukomponentin suuruus ei riipu aikasarjan tasosta L.

Mallin parametrit alfa, beta ja gamma pyritään määrittämään siten että ennustevirheiden neliöiden keskiarvo saadaan mahdollisimman pieneksi.

Python toteutus

Esimerkkikoodin kolminkertaiseen eksponentiaaliseen tasoitukseen löydät GitHubista:

https://nbviewer.jupyter.org/github/taanila/aikasarjat/blob/main/forecast3.ipynb

Aikasarjaennustaminen 2

Päivitetty 29.12.2020

Tämä artikkeli on jatkoa yksinkertaista eksponentiaalista tasoitusta käsittelevälle artikkelille Aikasarjaennustaminen 1. Tässä artikkelissa käytän kaksinkertaista eksponentiaalista tasoitusta eli Holtin mallia, joka huomioi myös trendin.

Holtin mallissa aikasarjan tason L (level) hetkellä t määrittää lauseke

L_t = alfa * Y_t + (1 – alfa) * (L_t-1 + T_t-1)

Yllä Y_t on viimeisin havainto ja T_t-1 on edellinen trendi. Trendille hetkellä t saadaan arvio lausekkeesta

T_t = beta * (L_t – L_t-1) + (1 – beta) * T_t-1

Ennuste hetkelle t+p saadaan

L_t + pT_t

Mallin parametrit alfa ja beta pyritään määrittämään siten että ennustevirheiden neliöiden keskiarvo saadaan mahdollisimman pieneksi.

Python toteutus

Esimerkkikoodin kaksinkertaisen eksponentiaalisen tasoituksen käytöstä löydät GitHubista:

https://nbviewer.jupyter.org/github/taanila/aikasarjat/blob/main/forecast2.ipynb

Aikasarjan lähempää tarkastelua

Löytääkseni paremman ennustemallin tarkastelen esimerkkikoodissa käyttämääni aikasarjaa hieman lähemmin purkamalla sen komponentteihin.

from statsmodels.tsa.api import seasonal_decompose
seasonal_decompose(data['Demand']).plot()

Tuloksena saan neljä kuviota:

• alkuperäinen aikasarja
• aikasarjasta erotettu trendi
• aikasarjan kausivaihtelu
• aikasarjan jäljelle jäänyt osa trendin ja kausivaihtelun poistamisen jälkeen.

Aikasarjassa on erotettavissa selkeä neljän vuosineljänneksen jaksoissa toistuva kausivaihtelu, jota kaksinkertainen eksponentiaalinen tasoitus ei huomioi ennusteessa. Asiaa voin tarkastella myös autokorrelaatioiden avulla. Autokorrelaatio tarkoittaa aikasarjan korrelaatiota viivästetyn aikasarjan kanssa, esimerkiksi aikasarjan korrelaatio neljän vuosineljänneksen takaisiin aikasarjan arvoihin. Autokorrelaatio voidaan laskea eri viiveille. Tämän voin tehdä pandas-kirjaston autocorrelation_plot-toiminnolla:

from pandas.plotting import autocorrelation_plot
autocorrelation_plot(data['Demand'])

Vaaka-akselilla on viive (lag) ja pystyakselilla autokorrelaatiokertoimen arvo. Huomaan, että viiveen 4 kohdalla on suurehko korrelaatio. Tämä viittaa neljän vuosineljänneksen mittaiseen kausivaihtelujaksoon. Kuvion katkoviivat edustavat tilastollisesti merkitsevän korrelaation rajoja. Viiveen 4 kohdalla korrelaatio on katkoviivan yläpuolella ja näin ollen tilastollisesti merkitsevä.

Seuraavassa artikkelissa Aikasarjaennustaminen 3 laadin ennustemallin, jossa myös neljän vuosineljänneksen jaksoissa toistuva kausivaihtelu on huomioitu.

Aikasarjaennustaminen 1

Päivitetty 29.12.2020

Aikasarjaennustamisessa oletan että toteutuneiden havaintojen muodostama aikasarja sisältää informaatiota, joka auttaa tulevien havaintojen ennustamisessa. Ennustusmenetelmä riippuu siitä, minkälaista systemaattista vaihtelua aikasarjassa esiintyy. Eksponentiaalisia tasoitusmenetelmiä käytettäessä on kolme päävaihtoehtoa:

• Yksinkertainen eksponentiaalinen tasoitus aikasarjoille, joissa ei ole trendiä eikä kausivaihtelua.
• Kaksinkertainen eksponentiaalinen tasoitus eli Holtin menetelmä aikasarjoille, joissa on trendi, mutta ei kausivaihtelua.
• Kolminkertainen eksponentiaalinen tasoitus eli Holt-Winterin menetelmä aikasarjoille, joissa on sekä trendi että kausivaihtelu.

Tämä artikkeli käsittelee yksinkertaista eksponentiaalista tasoitusta. Yksinkertaisessa eksponentiaalisessa tasoituksessa ennuste lasketaan seuraavasti:

alfa*edellinen havainto + (1 – alfa)*edellinen ennuste

Ennuste saadaan viimeisimmän havainnon ja siihen liittyneen ennusteen painotettuna summana. Painokerroin alfa on välillä 0 – 1 oleva luku, joka ilmaisee, kuinka suurella painolla edellistä havaintoa painotetaan ennustetta laskettaessa:

• • Jos alfa on 0, niin ennuste on sama kuin edellinen ennuste.
  • Jos alfa on 1, niin ennuste on sama kuin edellinen havainto.
  • Suuret alfan arvot antavat ennusteita, jotka reagoivat herkästi aikasarjassa esiintyvään vaihteluun, koska viimeisimmillä havainnoilla on suuri paino.
  • Pienet alfan arvot tasoittavat voimakkaasti aikasarjan vaihtelua.

Alfan arvo valitaan yleensä siten että ennustevirheiden neliöiden keskiarvo saadaan mahdollisimman pieneksi. Voin kirjoittaa ennusteen laskentakaavan myös muotoon

edellinen ennuste + alfa*(edellinen havainto – edellinen ennuste)

Ennustetta siis korjataan jokaisen toteutuneen havainnon jälkeen korjaustermillä alfa*edellisen ennusteen virhe.

Python toteutus

Esimerkkikoodin yksinkertaisen eksponentiaalisen tasoituksen käyttöön löydät GitHubista:

https://nbviewer.jupyter.org/github/taanila/aikasarjat/blob/main/forecast1.ipynb

Seuraavaksi

Esimerkkinä käyttämässäni aikasarjassa on melko helppo erottaa alkupään laskeva trendi ja loppupään nouseva trendi. Seuraavassa artikkelissani Aikasarjaennustaminen 2 yritän sovittaa aikasarjaan mallin, joka huomioi trendin.