Korrelaatio – lisätietoa

Päivitetty 16.8.2016

Kovarianssi

Kahden muuttujan, x ja y, välisen suoraviivaisen riippuvuuden voimakkuutta voidaan mitata laskemalla kovarianssi:

kovar

Osoittajassa lasketaan x:n ja y:n arvojen poikkeamia keskiarvostaan, kerrotaan poikkeamat keskenään ja lasketaan tulot yhteen. Lopuksi jaetaan vapausastemäärällä (otoskoko-1), jolloin saadaan keskimääräinen poikkeamien tulo eli kovarianssi. Yksi vapausaste on menetetty keskiarvon laskennassa. Huomaathan, että muuttujan kovarianssi itsensä kanssa on sama kuin varianssi. Seuraavassa yritän perustella, miksi kovarianssi sopii suoraviivaisen riippuvuuden mittaamiseen?

Jos hajontakaavioon piirretään pystyviiva kuvaamaan x-arvojen keskiarvoa ja vaakaviiva kuvaamaan y-arvojen keskiarvoa, niin viivat rajaavat neljä neljännestä:

kovarianssinperustelu

  • I neljänneksessä x:n ja y:n poikkeamat keskiarvostaan ovat positiivisia ja näin ollen poikkeamien tulo on positiivinen.
  • III neljänneksessä x:n ja y:n poikkeamat keskiarvostaan ovat negatiivisia ja näin ollen poikkeamien tulo on positiivinen.
  • II neljänneksessä x:n poikkeamat keskiarvostaan ovat negatiivisia ja y:n poikkeamat keskiarvostaan positiivisia. Näin ollen poikkeamien tulo on negatiivinen.
  • IV neljänneksessä x:n poikkeamat keskiarvostaan ovat positiivisia ja y:n poikkeamat keskiarvostaan negatiivisia. Näin ollen poikkeamien tulo on negatiivinen.

Jos havainnot keskittyvät I ja III neljännekseen, niin kovarianssi on positiivinen (vasemmanpuoleinen kuva). Jos havainnot keskittyvät II ja IV neljännekseen, niin kovarianssi on negatiivinen. Jos havainnot jakautuvat tasaisesti kaikkiin neljänneksiin, niin kovarianssi on likimain nolla.

Pearsonin korrelaatiokerroin

Eri tyyppisten muuttujien välisiä kovariansseja ei voi vertailla keskenään, koska muuttujien mittayksiköt vaikuttavat kovarianssin arvoon. Vertailun mahdollistamiseksi lasketaan kovarianssia hyväksi käyttäen Pearsonin korrelaatiokerroin, joka on muuttujien mittayksiköistä riippumaton tunnusluku. Puhuttaessa korrelaatiokertoimesta tarkoitetaan yleensä juuri Pearsonin korrelaatiokerrointa. Pearsonin korrelaatiokerroin lasketaan jakamalla kovarianssi keskihajontojen tulolla.

korrelaationkaava

Muuttujien järjestys (kumman valitset x-muuttujaksi, kumman y-muuttujaksi) ei vaikuta korrelaatiokertoimen arvoon. Keskihajontojen tulolla jakaminen normittaa korrelaatiokertoimen sellaiseksi, että se voi saada ainoastaan arvoja -1:n ja +1:n väliltä.

korrelaationarvot

  • Korrelaatiokertoimen arvo +1 saavutetaan silloin, kun kaikki hajontakaavion pisteet sijaitsevat samalla nousevalla suoralla.
  • Korrelaatiokertoimen arvo -1 saavutetaan silloin, kun kaikki pisteet sijaitsevat samalla laskevalla suoralla.
  • Korrelaatiokertoimen arvo 0 merkitsee, ettei muuttujien välillä ole lainkaan suoraviivaista riippuvuutta. Tällöin muuttujien välillä voi toki olla muunlaista kuin suoraviivaista riippuvuutta.

Mitä kauempana korrelaatiokerroin on nollasta, sitä voimakkaammasta suoraviivaisesta riippuvuudesta on kyse.

Korrelaatiokertoimen merkitsevyyden testaaminen

Korrelaation merkitsevyyden testaamiseen liittyvän p-arvon laskenta perustuu seuraavaan testimuuttujaan:

korrelaatiotestimuuttuja

Voidaan osoittaa, että korrelaation ollessa nolla kyseinen testimuuttuja noudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein n-2. Lisätietoa Studentin t-jakaumasta englanninkielisessä Wikipediassa Student’s t-distribution. P-arvo on  todennäköisyys saada kyseisestä t-jakaumasta testimuuttujan suuruinen tai vielä kauempana nollasta oleva arvo. Mitä pienempi p-arvo, sitä enemmän saadaan tukea sille, että korrelaatio on nollasta poikkeava.

Vakiintuneen tavan mukaisesti alle 0,05 (5 %) suuruista p-arvoa pidetään riittävänä näyttönä perusjoukossa esiintyvän korrelaation puolesta.

Voit käyttää laatimaani laskentapohjaa testaa_korrelaatio.xlsx p-arvon ja luottamusvälin laskentaan. Lähtötietoina tarvitaan korrelaatiokerroin ja otoskoko.

Korrelaatiokertoimen luottamusväli

Korrelaatiokertoimen luottamusvälin laskeminen on hankalahko tehtävä. Excel-pohja testaa_korrelaatio.xlsx laskee luottamusvälin alarajan ja ylärajan, kun lähtötietoina on korrelaatiokerroin ja otoskoko. Laskentapohjassa käytän kaavaa, jonka johtamisen löydät Ilkka Mellinin (2006) monisteesta Tilastolliset menetelmät: Regressioanalyysi sivulta 256.

Mainokset

3 ajatusta artikkelista “Korrelaatio – lisätietoa

  1. Ida

    Moikka, kiitos tästä kirjoituksesta! Selvensi minulle tuota korrelaation laskemista.

    Vastaa
  2. Juho

    Olipa hyvä valaiseva esitys asiasta, kiitti!

    Huomasin että kovarianssin etumerkkiä selittävän kuvan alla olevaan tekstiin on jäänyt pieni virhe: ”II neljänneksessä x:n poikkeamat keskiarvostaan ovat negatiivisia ja y:n poikkeamat keskiarvostaan negatiivisia.” Y:n poikkeamien tulisi olla positiivisia tuossa neljänneksessä, ja näin ollen tulo olisi vasta negatiivinen.

    Vastaa

Vastaa

Täytä tietosi alle tai klikkaa kuvaketta kirjautuaksesi sisään:

WordPress.com-logo

Olet kommentoimassa WordPress.com -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Twitter-kuva

Olet kommentoimassa Twitter -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Facebook-kuva

Olet kommentoimassa Facebook -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Google+ photo

Olet kommentoimassa Google+ -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Muodostetaan yhteyttä palveluun %s