Avainsana-arkisto: Viiden luvun yhteenveto

Ruutu- ja janakaavio

Päivitetty 9.12.2016

Viiden luvun yhteenveto (pienin, alaneljännes, mediaani, yläneljännes, suurin) kuvailee hyvin määrällisen muuttujan arvojen jakaumaa. Viiden luvun yhteenvetoa voin havainnollistaa ruutu- ja janakaavion avulla. Ruutu- ja janakaaviota kutsutaan myös laatikko-ja viiksikaavioksi, laatikko- ja viivakaavioksi, box & whisker -kaavioksi ja boxplotiksi.

Ruutu- ja janakaavion voin esittää vaakaasennossa tai pystyasennossa. Ruutu- ja janakaavion rakenneosat ovat ruutu ja ruudun päissä olevat janat:

  • Ruudun vasen reuna/alareuna vastaa alaneljännestä ja oikea reuna/yläreuna yläneljännestä. Alaneljänneksen ja yläneljänneksen määritelmästä seuraa, että 25 % havainnoista jää alaneljänneksen alapuolelle ja 25 % yläneljänneksen yläpuolelle. Ruudun sisään piirretty viiva vastaa mediaania. Alaneljänneksen ja mediaanin väliin jää 25 % havainnoista; mediaanin ja yläneljänneksen väliin 25 % havainnoista.
  • Janojen päät vastaavat pienintä ja suurinta.

laatikkokaavio

Viiden luvun yhteenveto pilkkoo havaintoalueen neljään neljännekseen. Ruutu- ja janakaavio tuo tämän havainnollisesti esiin.

Excel 2016 sisältää uutuutena ruutu- ja janakaaviolajin. Vanhoissa Excelin versioissa ei ole valmiina ruutu- ja janakaaviolajia, mutta pienellä kikkailulla voin laatia ruutu- ja janakaavion. Esimerkiksi seuraavan ruutu- ja janakaavion olen laatinut Excelillä.

laatikkokaavio3

Esimerkkikaaviosta näen yhdellä silmäyksellä, että osaston 1 palkat ovat suurimmat, osaston 3 palkat pienimmät ja eniten vaihtelua on osaston 2 palkoissa.

Ohjeet ja esimerkit ruutu- ja janakaavion laadintaan Excelillä löydät tiedostosta kaavio2.xlsx. Excel 2016 sisältää ruutu- ja janakaavion omana kaaviolajinaan; katso kaavio1.xlsx.

Tiekartat

Päivitetty 29.3.2015

Aineistoja jalostetaan ja analysoidaan, jotta saadaan käyttökelpoista, havainnollista ja ymmärrettävää tietoa päätöksenteon tueksi ja perusteluksi.

Analysoitavia aineistoja saadaan erilaisista lähteistä, esimerkiksi

  • kyselylomakkeella kerättyjä mielipiteitä
  • kokeellisella tutkimusasetelmalla kerättyjä havaintoja
  • verkkosivuston käyttötilastoja
  • yrityksen tietokannasta poimittuja myyntitapahtumia
  • internetin tietokannoista löytyviä tilastoja.

Aineistoja jalostetaan ja analysoidaan, jotta saadaan käyttökelpoista, havainnollista ja ymmärrettävää tietoa päätöksenteon tueksi ja perusteluksi. Analysointiin käytetään samoja menetelmiä aineiston lähteestä riippumatta. Analyysit aloitetaan muuttujakohtaisilla tarkasteluilla muuttuja kerrallaan. Joissain tapauksissa  muuttujakohtaiset tarkastelut riittävät, mutta yleensä analyyseissä edetään riippuvuuksien tarkasteluun. Perusanalyyseissa analysoidaan kahden muuttujan välisiä riippuvuuksia. Jos toinen muuttujista on kategorinen, niin riippuvuuden sijasta puhutaan ryhmien vertailusta (kategorisen muuttujan arvot määräävät ryhmät, joiden välillä toisen muuttujan arvoja vertaillaan). Muissa tapauksissa riippuvuutta voidaan kutsua korrelaatioksi ja sen voimakkuutta mitataan korrelaatiokertoimien avulla. Edellä olevan perusteella voin jaotella perusanalyysit seuraavasti:

tiekartta1

Vaativammassa analyysissä käytetään monimuuttujamenetelmiä, joissa analysoidaan useamman muuttujan välisiä riippuvuuksia samanaikaisesti. Minä en kirjoita blogissani monimuuttujamenetelmistä.

Seuraavassa luettelen kuhunkin analyysityyppiin liittyviä menetelmiä. Ryhmittelen menetelmät sen mukaan minkälaisille mitta-asteikoille ne sopivat. Käyttämäni mitta-asteikot ovat

  • Kategorinen: Muuttujan arvot luokittelevat havaintoyksiköt toisensa poissulkeviin kategorioihin/luokkiin. Tällaista mitta-asteikkoa kutsutaan myös luokitteluasteikoksi, nominaaliasteikoksi ja laatueroasteikoksi. Esimerkki: Henkilön ammatti.
  • Järjestysasteikollinen: Jos kategoriat/luokat voidaan asettaa yksikäsitteiseen suuruus, paremmuus tai muuhun järjestykseen, niin kyseessä on järjestysasteikko. Tällaista mitta-asteikkoa kutsutaan myös ordinaaliasteikoksi. Esimerkki: Hotelliluokituksessa hotellin saama tähtien määrä.
  • Määrällinen: Muuttujan arvot mittaavat mitattavan ominaisuuden määrää numeroasteikolla. Määrälliset muuttujat kattavat sekä välimatka-asteikolliset (intervalliasteikolliset) että suhdeasteikolliset muuttujat. Esimerkki: Henkilön kuukausipalkka.
  • Mielipideasteikko: Mielipideasteikko on järjestysasteikko, mutta monissa tapauksissa sen voidaan ajatella mittaavan mielipiteen, esimerkiksi tyytyväisyyden, määrää numeroasteikolla. Tällöin mielipideasteikko voidaan tulkita määrälliseksi ja määrällisille muuttujille soveltuvia menetelmiä voidaan käyttää. Esimerkki: Tyytyväisyys asiakaspalvelun ystävällisyyteen asteikolla 1-5 (1=erittäin tyytymätön, 5=erittäin tyytyväinen).

Yhden muuttujan tarkastelu

Tilastoaineiston analysoinnin aloitan muuttujakohtaisilla tarkasteluilla.

  • Kategorisille muuttujille lasken lukumäärä- ja prosenttitaulukot. Lukumäärä- ja prosenttitaulukosta käytetään myös nimityksiä yhteenvetotaulukko ja frekvenssitaulukko. Taulukoinneissa pääset hyvään alkuun lukemalla artikkelin Taulukointi.
  • Järjestysasteikollisille muuttujille voin lukumäärä- ja prosenttitaulukoiden lisäksi laskea viiden luvun yhteenvedon.
  • Määrällisille muuttujille lasken tunnuslukuina keskiarvon, keskihajonnan ja viiden luvun yhteenvedon. Tunnusluvuissa pääset hyvään alkuun lukemalla artikkelin Tunnuslukuja.

tiekart2

Mielipideasteikot (esimerkiksi 1-5, täysin eri mieltä – täysin samaa mieltä) ovat järjestysasteikoita, mutta tietyin varauksin voin käyttää keskiarvoa ja keskihajontaa. Voit lukea lisää artikkelista Mielipideasteikon keskiarvo.

Jos analysoitava aineisto on otos laajemmasta perusjoukosta, niin kannattaa laskea prosenttiosuuksille ja keskiarvoille luottamusvälit. Luottamusväli ilmaisee epävarmuuden yleistettäessä prosenttiosuus tai keskiarvo laajempaan perusjoukkoon. Lisätietoa prosenttiosuuden luottamusvälistä artikkelissa Prosenttiosuuden luottamusväli ja keskiarvon luottamusvälistä artikkelissa Keskiarvon virhemarginaali.

Kahden ryhmän vertailu – riippumattomat ryhmät

Päädyn vertailemaan kahta ryhmää esimerkiksi seuraavissa tapauksissa:

  • Haluan verrata kyselytutkimusaineiston perusteella miesten ja naisten mielipiteitä.
  • Haluan verrata kokeellisen tutkimuksen keinoin ovatko alkoholia nauttineiden reaktioaikojen keskiarvot samat kuin alkoholia nauttimattomien.

Jos mitattava muuttuja on kategorinen, niin vertaan lukumääriä ja/tai prosentteja ristiintaulukoimalla ryhmittelevän muuttujan ja mitattavan muuttujan. Hyvään alkuun ristiintaulukoinneissa pääset lukemalla artikkelin Ristiintaulukointi. Jos mitattava muuttuja on määrällinen, niin yleensä vertaan keskiarvoja. Myös mielipideasteikon tapauksessa voin tietyin varauksin verrata keskiarvoja. Lisätietoa artikkelissa Kahden riippumattoman otoksen vertailu.

tiekart3

Tarvittaessa voin testata ryhmien välisen eron merkitsevyyttä. Testaamisella varmistan, onko otoksessa havaittu ero niin suuri, ettei se voi aiheutua pelkästä otantavirheestä, vaan taustalla on ryhmien todellinen ero perusjoukossa. Lisätietoa artikkelissa Onko ryhmien välinen ero tilastollisesti merkitsevä.

Useamman ryhmän vertailu – riippumattomat ryhmät

Jos vertailtavia ryhmiä on useampia, niin järjestysasteikollisen ja määrällisen muuttujan tapauksessa testimenetelmät ovat erilaiset kuin kahden ryhmän vertailussa.

tiekart4

Lisätietoa testimenetelmistä artikkelissa Onko ryhmien välinen ero tilastollisesti merkitsevä.

Kahden ryhmän vertailu – riippuvat ryhmät

Kokeellisessa tutkimuksessa päädytään usein vertailemaan toisistaan riippuvia ryhmiä. Jos riippumattoman ja riippuvan ero ei ole sinulle selvä, niin lue artikkeli Riippumattomat vai riippuvat otokset.

tiekart5

Lisätietoa testimenetelmistä artikkelissa Onko ryhmien välinen ero tilastollisesti merkitsevä.

Useamman ryhmän vertailu – riippuvat ryhmät

Useamman riippuvan ryhmän vertailua tarvitaan lähinnä kokoeellisessa tutkimuksessa.

tiekart6

Lisätietoa testimenetelmistä artikkelissa Onko ryhmien välinen ero tilastollisesti merkitsevä.

Korrelaatio

Korrelaatio tarkoittaa kahden muuttujan välistä riippuvuutta.

  • Jos molemmat muuttujat ovat kategorisia, niin menetelmänä voin käyttää ristiintaulukointia. Ristiintaulukointi sopii myös mielipideasteikollisille muuttujille. Hyvään alkuun ristiintaulukoinneissa pääset lukemalla artikkelin Ristiintaulukointi.
  • Jos toinen muuttujista on kategorinen ja toinen järjestysasteikollinen, mielipideasteikollinen tai määrällinen, niin voin käyttää aiemmin esittämiäni ryhmien vertailuun sopivia menetelmiä. Tällöin kategrorisen muuttujan arvot määrittävät ryhmät, joita vertailen.
  • Jos molemmat muuttujista ovat järjestysasteikollisia, niin voin laskea Spearmanin järjestyskorrelaation. Joissain tapauksissa Spearmanin järjestyskorrelaatio on sopiva menetelmä myös mielipideasteikollisille muuttujille. Järjestyskorrelaatiosta lisää artikkelissa Spearmanin järjestyskorrelaatio.
  • Jos molemmat muuttujat ovat määrällisiä, niin tarkastelen riippuvuutta hajontakaavioiden ja korrelaatiokertoimien avulla. Tästä lisää artikkelissa Korrelaatio ja sen merkitsevyys.

tiekart7

Tarvittaessa voin testata riippuvuuden/korrelaation merkitsevyyttä. Testaamisella varmistan, onko otoksessa havaittu riippuvuus/korrelaatio niin suuri, ettei se voi aiheutua pelkästä otantavirheestä, vaan taustalla on todellinen riippuvuus/korrelaatio perusjoukossa. Lisätietoa testaamisesta artikkeleissa Ristiintaulukointi ja khiin neliö -testi ja Korrelaatio ja sen merkitsevyys.

8 Tunnuslukuja

Päivitetty 30.11.2015

Määrällisten muuttujien tapauksessa ei kannata pihtailla tunnuslukujen kanssa. Määrälliselle muuttujalla kannattaa laskea ainakin

  • keskiarvo ja keskihajonta
  • viiden luvun yhteenveto (pienin, alaneljännes eli alakvartiili, mediaani, yläneljännes eli yläkvartiili, suurin)
  • havaintojen lukumäärä (n).

Keskiarvo ja mediaani

Keskiarvo (arvojen summa jaettuna arvojen lukumäärällä) ja mediaani (suuruusjärjestykseen järjestettyjen arvojen keskimmäinen tai kahden keskimmäisen keskiarvo) pyrkivät mittaamaan jakauman keskikohtaa. Jos keskiarvo ja mediaani ovat lähellä toisiaan, niin tämä viittaa jakauman symmetrisyyteen. Muista arvoista selvästi poikkeavat arvot vaikuttavat voimakkaasti keskiarvoon:

  • Jos keskiarvo on mediaania suurempi, niin tämä viittaa oikealle vinoon jakaumaan.
  • Jos keskiarvo on mediaania pienempi, niin tämä viittaa vasemmalle vinoon jakaumaan.

Poikkeavista arvoista ja niihin suhtautumisesta voit lukea lisää artikkelista Poikkeavat arvot.

Jos keskiarvo ja mediaani poikkeavat selvästi toisistaan, niin mediaani on yleensä paremmin jakauman keskikohtaa kuvaava luku.

Keskihajonta

Keskihajonta pyrkii mittaamaan arvojen vaihtelua keskiarvon molemmin puolin. Keskihajonta ilmaisee havaintojen keskimääräisen poikkeaman keskiarvosta. Pelkästään keskihajonnan lukuarvon perusteella on vaikeaa muodostaa mielikuvaa arvojen vaihtelusta. Keskihajonta on kuitenkin tilastollisessa mielessä tärkeä tunnusluku, jota käytetään muun muassa keskiarvon virhemarginaalin laskemiseen.

Viiden luvun yhteenveto

Viiden luvun yhteenveto antaa hyvän kuvan arvojen vaihtelusta. Viiden luvun yhteenvedon avulla arvojen vaihteluväli pienimmästä suurimpaan jaetaan neljään osaan:

  • pienimmän ja alanejänneksen välinen osa sisältää 25 % arvoista
  • alaneljänneksen ja mediaanin välinen osa sisältää 25 % arvoista
  • mediaanin ja yläneljänneksen välinen osa sisältää 25 % arvoista
  • yläneljänneksen ja suurimman välinen osa sisältää 25 % arvoista.

Laskenta Excelin funktioilla

Voin laskea tilastoaineiston tunnuslukuja aineiston yläpuolelle, alapuolelle, viereen, toiseen taulukkoon  tai jopa  toiseen työkirjaan. Minulla on tapana laskea tunnuslukuja aineiston yläpuolelle. Tätä varten lisään aineiston yläpuolelle riittävän määrän tyhjiä rivejä (yhden enemmän kuin laskettavia tunnuslukuja, jotta tunnuslukujen ja aineiston väliin jää tyhjä rivi). Jollen tarvitse ensimmäiseen sarakkeeseen tunnuslukuja, niin kirjoitan siihen itseäni varten laskettavien tunnuslukujen nimet (keskiarvo, keskihajonta jne.). Tunnuslukujen laskennan suoritan Excelin funktioilla:

  • =AVERAGE(alue) (KESKIARVO)
  • =STDEV.S(alue) (KESKIHAJONTA.S)
  • =MIN(alue) (MIN)
  • =PERCENTILE.EXC(alue;25 %) (PROSENTTIPISTE.ULK)
  • =MEDIAN(alue) (MEDIAANI)
  • =PERCENTILE.EXC(alue;75 %) (PROSENTTIPISTE.ULK)
  • =MAX(alue) (MAKS)
  • =COUNT(alue) (LASKE)

Funktioiden vaatima argumentti ’alue’ on viittaus arvoihin, joista tunnusluku lasketaan. Alaneljännes ja yläneljännes lasketaan samalla funktiolla PERCENTILE.EXC, jolle pitää lisäargumenttina antaa 25 % (alaneljännes) tai 75 % (yläneljännes). Huomaa, että argumenttien väliin kirjoitetaan puolipiste.

Vanhempien Excel-versioiden käyttäjille: Excel 2010:een tuli joitain uudistuksia funktioihin. Excel 2007 ja sitä vanhemmissa käytetään STDEV.S sijasta funktiota STDEV (KESKIHAJONTA) ja PERCENTILE.EXC sijasta funktiota PERCENTILE (PROSENTTIPISTE). PERCENTILE.EXC saattaa antaa hieman PERCENTILE-funktiosta poikkeavan tuloksen, mutta erolla ei yleensä ole käytännön merkitystä (lisätietoa). Vanhat funkiot toimivat edelleen uudemmissa versioissa.

Seuraavassa olen lisännyt 9 tyhjää riviä aineiston data1.xlsx yläpuolelle. Esimerkiksi keskiarvon olen laskenut funktiolla =AVERAGE(B11:B92) ja alaneljänneksen funktiolla =PERCENTILE.EXC(B11:B92;25 %). Sarakkeeseen B laskemani funktiot olen kopioinut muihin sarakkeisiin: Valitsin solut B1:B8, tartuin hiirellä kiinni valittujen solujen oikean alakulman neliöstä ja vedin oikealle.

Kuvaamallani menettelyllä tulen laskeneeksi tarpeettomiakin tunnuslukuja. Esimerkiksi sukupuolelle ainoastaan vastausten lukumäärä (n) on käyttökelpoinen tunnusluku. Tarpeettomia tunnuslukuja en tietenkään raportoi.

Raportointia varten tunnuslukuja kannattaa kopioida uuteen taulukkoon. Liittäminen täytyy tehdä arvoina käyttäen Paste Values (Liitä arvot) -toimintoa. Desimaalien määrä täytyy säätää tilanteeseen sopivaksi. Esimerkiksi palkkaan liittyvät tunnusluvut voin esittää seuraavasti:

Taulukosta näen keskiarvoa ja mediaania vertaamalla, että aineistossa on joitain erityisen suuria palkkoja. Tämä käsitys vahvistuu, kun katson suurinta arvoa. Viiden luvun yhteenveto antaa hyvän mielikuvan siitä miten palkat ovat jakaantuneet. Voin esimerkiksi todeta, että puolella työntekijöistä palkka on välillä 2027 euroa – 2817 euroa.

Tunnuslukuja ryhmittäin

Jos haluan vertailla miesten ja naisten palkkajakaumaa, niin lasken palkan tunnuslukuja sukupuolen määräämissä ryhmissä. Voin tehdä tämän esimerkiksi seuraavasti:

  • Lasken tunnusluvut koko aineistolle.
  • Lajittelen (järjestän) aineiston ryhmittelevän muuttujan (esimerkiksi sukupuoli) mukaan.
  • Teen aineistosta kopioita (pidän  ctrl-näppäintä alhaalla ja raahan alareunan taulukonvalitsinta hieman oikealle).
  • Poistan kopioista ne rivit, jotka eivät kuulu haluamaani osa-aineistoon.
  • Osa-aineiston tunnusluvut voin kopioida uuteen taulukkoon vierekkäin, jolloin vertailu käy mahdolliseksi.

Toinen mahdollisuus on käyttää (Excel 2010 tai uudempi) AGGREGATE (KOOSTE) -funktiota yhdessä aineiston suodatuksen kanssa.

 Aggregate-funktio (Excel 2010 tai uudempi)

Jos käytössäni on Excel 2010 tai uudempi, niin voin laskea tunnusluvut siten, että tunnusluvun arvo vaihtuu aineiston suodatuksen (Filter) mukana. Jos suodatus ei ole sinulle tuttua, niin lue artikkeli 2 Excel Table (Taulukko). Laskennan toteutan käärimällä tunnuslukufunktion AGGREGATE (KOOSTE) -funktion sisään.

  • Aloitan funktion rakentamisen kirjoittamalla suoraan tyhjään soluun funktion nimen alkua =AG, jonka jälkeen Excel jo ehdottaakin AGGREGATE-funktiota. Jos hyväksyn Excelin ehdotuksen tab/sarkain-näppäimellä, niin Excel täydentää funktion nimen ja lisää sulkumerkin =AGGREGATE(. Excel Mac 2011: Valitse Formulas – Insert – Math and Trigonometry – AGGREGATE.
  • Sulkumerkin jälkeen Excel tarjoaa luetteloa tilastollisia tunnuslukuja laskevista funktioista. Valitsen luettelosta haluamani funktion (voin liikkua luettelossa nuolilla ja valita tab/sarkain-näppäimellä tai hiiren kaksoisnapsauksella). Excel Mac 2011 ei tarjoa luetteloa funktioista, vaan joudut katsomaan sen funktion Help-toiminnosta.
  • Seuraavaksi kirjoitan argumenttien väliin erotinmerkiksi puolipisteen ;
  • Puolipisteen jälkeen Excel tarjoaa monenlaisia oudonnäköisiä vaihtoehtoja, joista valitsen vaihtoehdon 5 (Ignore hidden rows), jonka ansiosta funktio reagoi suodatuksiin.
  • Seuraavaksi kirjoitan argumenttien väliin erotinmerkiksi puolipisteen ;
  • Puolipisteen jälkeen näytän hiirellä ne arvot, joista lasken tunnuslukua.
  • Jos en ole laskemassa ala- tai yläneljännestä, niin kirjoitan sulkumerkin ) ja napsautan enter-painiketta. Jos olen laskemassa ala- tai yläneljännestä, niin kirjoitan puolipisteen ; ja viimeiseksi argumentiksi 25 % (alaneljännes) tai 75 % (yläneljännes).

Voin tämän jälkeen todeta, miten funktion tulos vaihtuu suodatusten mukana. Voin helposti esimerkiksi suodattaa näkyville miehet ja kopioida miesten tunnusluvut jonnekin. Tämän jälkeen voin suodattaa näkyville naiset ja kopioida naisten tunnusluvut miesten tunnuslukujen viereen. Muistan tietysti liittää Office-leikepöydältä (Excel Mac 2011: Scrapbook) tai käyttää Paste Values (Liitä arvot) -toimintoa.

Pienin palkka näyttää olevan miehellä. Miesten ja naisten alaneljännekset eivät poikkea paljoa toisistaan. Mediaani ja yläneljännes ovat miehillä selvästi suuremmat. Naisten joukossa ei ole suuripalkkaisia lainkaan.

Graafinen esittäminen

Graafiseen esittämiseen ruutu- ja janakaavio eli boxplot on erinomainen valinta. Ruutu- ja janakaavio havainnollistaa viiden luvun yhteenvedon.

Ruutu- ja janakaavion alin viiva vastaa pienintä arvoa, ruudunn alareuna alaneljännestä, ruudun keskellä oleva viiva mediaania, ruudun yläreuna yläneljännestä ja ylin viiva suurinta arvoa.

Excelissä ruutu- ja janakaavio on vasta versiosta Excel 2016 alkaen. Pienellä kikkailulla ruutu- ja janakaavion laatiminen kuitenkin onnistuu. Lue lisää artikkelista ruutu- ja janakaavio.

Seuraavaksi

Otoskesta lasketut tunnusluvut kuvailevat lähtökohtaisesti otosta. Jos otoksesta laskettuja tunnuslukuja yleistetään laajempaan perusjoukkoon, niin yleistämiseen liittyy otantavirheen aiheuttamaa epävarmuutta. Keskiarvon kohdalla epävarmuuden suuruus voidaan ilmaista virhemarginaalin avulla. Tästä enemmän artikkelissa 9 Keskiarvon virhemarginaali.